Влияние профиля установившегося потока на погрешность ультразвуковых расходомеров

  Одной из важных проблем измерения расхода  при помощиультразвука является учет влияния профиля потока . Ультразвуковые расходомеры измеряют среднюю скорость потока вдоль пути распространения ультразвука.Вместе с тем,при измерении расхода жидкости ,протекающей по трубопроводу ,необходимо знать скорость, усредненную по поперечному сечению потока.Между указанными средними скоростями  существует нелинейная зависимость, для которой получено аналитическое выражение для случая цилиндрического трубопровода

где v- скорость ,измеренная ультразвуковым расходомером ;

       v^- -средняя скорость по сечению трубопровода ;

       Re- число Рейнольдса.

Зависимость (1) получена на основании логарифмического закона распределения скоростей в трубопроводе . Биргером было получено более точное выражение для этой зависимости для случая цилиндрического трубопровода

 

При этом также использовался логарифмический закон  распределения скоростей в трубопроводе при χ= const.

  Однако следует учесть,что логарифмический закон распределения скоростей при χ= const является лишь приближенным описанием действительных кривых распределения скоростей ,и постоянная  χ ,используемая в выражении логарифмического закона ,меняется даже в пределах одной кривой распределения скоростей для Re=const.

 В связи с этим большой практический интерес представляет определение влияния профиля скоростей в потоке на показания ультразвуковых  расходомеров путем непосредственного интегрирования экспериментально полученных кривых распределения скоростей.

  Средняя по сечению w скорость потока любой формы определяется по выражению

где u(w)- скорость в данной точке сечения потока.

  Средняя скорость вдоль пути l₀ распространения ультразвука может быть представлена выражением

Тогда общее выражение ,характеризующее зависимость между указанными выше скоростями для любой формы потока(гидродинамическая поправка ультразвуковых расходомеров ,имеет вид

 

 Для частного случая установившегося потока в цилиндрическом трубопроводе радиусом r₀ при распространении ультразвука в плоскости ,проходящей через ось трубопровода , выражение (3) принимает вид

 

Для вывода (2) и было использовано(4).

  На фиг.1 изображены кривые распределения скоростей в  установившемся потоке при различных значениях числа Рейнольдса в пределах от 4*10³ до 3*10⁶, где по оси абсцисс отложено относительное расстояние от оси трубопровода ,по оси ординат –относительная скорость.

Из фиг.1 можно сделать вывод, что скорость в пристенной области нарастает очень быстро и имеет смысл интегрировать кривые распределения только на участке выше точки М(1,у₀), а участок ниже точки  М(1,у₀)(заштрихованная область) использовать в качестве постоянного слагаемого.Величину у₀ удобно выбрать равной у₀=0,33*(v/v_max).

  При практическом выполнении расчетов оказалось более удобным использовать иное построение безразмерных кривых распределения скоростей ,при котором по оси абсцисс откладывалась относительная скорость,а по оси ординат  -относительное расстояние .В этом случае точка М будет иметь координаты (х₀,1).С учетом изложенного средняя по сечению скорость равна :

,а средняя скорость вдоль пути распространения равна

и,соответственно:

 

 

Кроме того,для уменьшения возможности ошибок при считывании данных с графиков оказалось удобным пересчитать кривые распределения скоростей в безразмерные единицы таким образом,чтобы координаты точек кривой изменялись не в пределах от 0 до 1,как изображено на фиг.1 а непосредственно в масштабе графиков.В этом случае точка М будет иметь координаты М(х₀,y₀).Тогда искомая зависимость приобретает следующий вид:

 

где x_m- точка пересечения всех кривых распределения скоростей с осью абсцисс.

  Из известных формул приближенного интегрирования для рассматриваемого случая наиболее удобной оказалась формула Н.Л.Чебышева,представляющая  интеграл в виде

где x_i- абсциссы Чебышева , а h= (b-a)/n. С учетом (9) выражение (8) приобретает следующий окончательный вид

 

  Формула (10) была использована в качестве рабочей для интегрирования кривых распределения скоростей в трубопроводе.При этом исходные данные брались из таблицы экспериментальных данных Никурадзе [4].Табличные значения сначала пересчитывались в безразмерные единицы,по которым строились затем кривые распределения скоростей на миллиметровой бумаге 1200х500 мм.Такой масштаб позволял избегнуть ошибок за счет неточного построения кривых и считывания с них данных .Все арифметические действия проделывались,как минимум, дважды.

  Результаты этой вычислительной работы приведены на фиг.2 .Как видно из фигуры, для чисел Рейнольдса примерно до 20*10³ наблюдается хорошее совпадение результатов,полученных по (1) и (2) (кривые I и II), с данными ,полученными непосредственным интегрированием кривых распределения скоростей (показаны крестиками).Для больших чисел Рейнольдса наблюдается отклонение точек от кривых I и II в сторону больших значений величины m.

  Эмпирическая формула ,выражающая зависимость гидродинамической поправки m ультразвуковых расходомеров  от числа Рейнольдса (кривая III) ,полученная на основании результатов интегрирования кривой распределения ,имеет следующий вид:

                       m=1,12-0,011*lgRe  (11)

Формула(11) отличается простотой ,и ее легко использовать при практических расчетах.